Beispiel 1 - Konvertierung der Zahl 75
ins Dualsystem
- Im Dualsystem sieht eine natürliche Zahl so aus:
- an2n + ... + a323 + a222 + a121 + a0
- zulässige Ziffern: ai ∈ {0;1}
- Alle Summanden enthalten den Faktor 2, bis auf a0.
Teilt man also die Zahl durch 2,
so geht die Division bei allen Summanden bis auf den Rest a0 auf und in jedem Summanden ist die Potenz um 1 erniedrigt.
- (an2n + ... + a323 + a222 + a121 + a0) : 2 =
an2n-1 + ... + a322 + a221 + a1 Rest a0
- Bei der nächsten Division durch 2 bleibt der Rest a1, danach a2 usw.
- 75 : 2 = 37 Rest 1 =a0
37 : 2 = 18 Rest 1 =a1
18 : 2 = 9 Rest 0 =a2
9 : 2 = 4 Rest 1 =a3
4 : 2 = 2 Rest 0 =a4
2 : 2 = 1 Rest 0 =a5
1 : 2 = 0 Rest 1 =a6
- 7510 = 10010112
ins Hexadezimalsystem
- Im Hexadezimalsystem sieht eine natürliche Zahl so aus:
- an16n + ... + a3163 + a2162 + a1161 + a0
- zulässige Ziffern: ai ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E; F}
- Alle Summanden enthalten den Faktor 16, bis auf a0.
Teilt man also die Zahl durch 16, so geht die Division bei allen Summanden bis auf den Rest a0 auf und in jedem Summanden ist die Potenz um 1 erniedrigt
- (an16n + ... + a3163 + a2162 + a121 + a0) : 2 =
an16n-1 + ... + a3162 + a2161 + a1 Rest a0
- Bei der nächsten Division durch 16 bleibt Rest a1, danach a2 usw.
- 75 : 16 = 4 Rest 11 ≙ B = a0, (denn 4 ⋅ 16 + 11 = 75)
4 : 16 = 0 Rest 4 = a1, (denn 0 ⋅ 16 + 4 = 4)
- 7510 = 4B16
Die Reste werden von unten nach oben gelesen.
Glaubhafter als durch Theorie könnte das Verfahren durch folgenden Gedanken werden: Wandelt man nach der gleichen Vorgehensweise eine Dezimalzahl in eine Dezimalzahl um, so bekommt man zwar keine neue Zahl, sieht aber deutlich, wie das Verfahren arbeitet.
Beispiel: Anwendung mit der Zahl 4726
- 4726 : 10 = 472 Rest 6 (denn 472 · 10 = 4720, fehlen bis 4726 noch 6)
472 : 10 = 47 Rest 2
47 : 10 = 4 Rest 7
4 : 10 = 0 Rest 4
- Liest man die Reste von unten nach oben, erhält man wieder 4726.
Beispiel 2 - Konvertierung der Zahl 75,84375
ins Dualsystem
- Die Konvertierung des natürlichen Anteils von 75,84375 wurde bereits im vorigen Beispiel durchgeführt. Es fehlt der gebrochene Anteil.
- In der Potenzschreibweise beginnt der gebrochene Anteil so:
x = a-1⋅2-1 + a-2⋅2-2 + a-3⋅2-3 + ...
- Multipliziert man den gebrochenen Teil mit 2, so wird der Exponent in jeder Potenz um 1 erhöht. Die Stellen rutschen bildlich gesprochen um eine Stelle nach links.
- 2 ⋅ x = a-1⋅20 + a-2⋅2-1 + a-3⋅2-2 + ...
- 20 ist aber 1. Damit ist die Position a-1 vors Komma gerutscht.
- Bei jeder weiteren Multiplikation mit 2 rutscht eine weitere Stelle vors Komma.
- 0,84375 ⋅ 2 = 1 + 0,6875
0,6875 ⋅ 2 = 1 + 0,375
0,375 ⋅ 2 = 0 + 0,75
0,75 ⋅ 2 = 1 + 0,5
0,5 ⋅ 2 = 1 + 0
- Da bei der ersten Multiplikation die erste Nachkommastelle vor das Komma rutscht, wird das Ergebnis von oben nach unten gelesen.
- Insgesamt ergibt sich: 75,84375 = 1001011,110112
ins Hexadezimalsystem
- Die Konvertierung des natürlichen Anteils von 75,84375 wurde bereits im vorigen Beispiel durchgeführt. Es fehlt der gebrochene Anteil.
- In der Potenzschreibweise beginnt der gebrochene Anteil so:
x = a-1⋅16-1 + a-2⋅16-2 + a-3⋅16-3 + ...
- Multipliziert man den gebrochenen Teil mit 16, so wird der Exponent in jeder Potenz um 1 erhöht. Die Stellen rutschen bildlich gesprochen um eine Stelle nach links.
- 16 ⋅ x = a-1⋅160 + a-2⋅16-1 + a-3⋅16-2 + ...
- 160 ist aber 1. Damit ist die Position a-1 vors Komma gerutscht.
- Bei jeder weiteren Multiplikation mit 16 rutscht eine weitere Stelle vors Komma.
- 0,84375 ⋅ 16 = 13 + 0,5 (13 ≙ D)
0,5 ⋅ 16 = 8 + 0
- Da bei der ersten Multiplikation die erste Nachkommastelle vor das Komma rutscht, wird das Ergebnis von oben nach unten gelesen.
- Insgesamt ergibt sich: 75,84375 = 4B,D816
Die ganzzahligen Anteile werden von oben nach unten gelesen.
Verallgemeinerung
- Bei der Konvertierung von Zahlen mit Nachkommastellen werden der natürliche und der gebrochene Teil einzeln berechnet.
- Die Ziffern für den natürlichen Teil werden nacheinander als Rest bei der fortlaufenden Division durch die neue Basis bestimmt. Das Verfahren ist beendet, wenn sich der Dividend 0 ergibt.
- Die Ziffern für den gebrochenen Teil werden nacheinander als ganzzahliger Teil bei der fortlaufenden Multiplikation mit der neuen Basis bestimmt. Das Verfahren ist beendet, wenn der gebrochene Teil 0 ergibt.
Anmerkung
Beim gebrochenen Anteil einer Zahl ist es oft fraglich, ob er sich aus Potenzen des Zielsystems zusammensetzen lässt.
Dazu ein Beispiel. Die Dezimalzahl 0.2 soll in eine Dualzahl umgewandelt werden. Da der natürliche Teil den Wert 0 hat, reicht die Konvertierung des gebrochenen Teils:
0,2 ⋅ 2 = 0 + 0,4
0,4 ⋅ 2 = 0 + 0,8
0,8 ⋅ 2 = 1 + 0,6
0,6 ⋅ 2 = 1 + 0,2
0,2 ....
Man erkennt hier, dass sich in der letzten Zeile die erste Zeile wiederholt. Damit wiederholen sich auch alle folgenden Berechnungen. Im Dualsystem liefert die Dezimalzahl 0,2 offenbar einen periodischen Bruch.
0,210 = 0,0011 0011 0011 0011 0011 0011...2
