Rekonvertierung
Rekonvertierung
Einleitung
In der Informatik bezeichnet das Rekonvertieren die Umwandlung einer Zahlendarstellung eines beliebigen Zahlensystems in eine Dezimalzahl.
Rekonvertierung mit dem Positionssystem
Hier ist nichts weiter zu tun, als für die zu rekonvertierende Zahl die ausführliche Darstellung aufzuschreiben und anschließend auszurechnen.
aus dem Dualsystem
- Rekonvertierung der natürlichen Dualzahl 1100012
- 1100012 = 1⋅25 + 1⋅24 + 0⋅23 + 0⋅22 + 0⋅21 + 1⋅20
= 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅1
= 32 + 16 + 1
= 49 - Rekonvertierung der gebrochenen Dualzahl 10,10112
- 10,10112 = 1⋅21 + 0⋅20 + 1⋅2-1 + 0⋅2-2 + 1⋅2-3 + 1⋅2-4
= 1⋅2 + 1⋅ 1/2 + 1⋅ 1/8 + 1⋅ 1/16
= 2 + 1/2 + 1/8 + 1/16
= 2 11/16
= 43/16
= 2,6875
aus dem Hexadezimalsystem
- Rekonvertierung der natürlichen Hexadezimalzahl 2C0F16
- Beachte: C ≙ 12 bzw. F ≙ 15
- 2C0F16 = 2⋅163 + 12⋅162 + 0⋅161 + 15⋅160
= 2⋅4096 + 12⋅256 + 15⋅1
= 8192 + 3972 + 15
= 11.279 - Rekonvertierung der gebrochenen Hexadezimalzahl B1,3A616
- B1,3A616 = 11⋅161 + 1⋅160 + 3⋅16-1 + 10⋅16-2 + 6⋅16-3
= 11⋅16 + 1⋅1 + 3⋅ 1/16 + 10⋅ 1/256 + 6⋅ 1/4096
= 176 + 1 + 3/16 + 10/256 + 6/4096
= 177 934/4096
= 177,22802734375
Rekonvertierung mit dem Horner-Schema
Das Horner-Schema wurde ursprünglich zur Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen entwickelt. Darüber hinaus bietet es weitere Möglichkeiten, die hier jedoch nicht von Interesse sind. Betrachtet man den Aufbau einer Zahl in einem beliebigen Zahlensystem, so erkennt man die Struktur einer ganzrationalen Funktion.
Zahl = an⋅bn + an-1⋅bn-1 + ... + a1⋅b1 + a0⋅b0
Beispiel für eine 4-stellige, natürliche Dualzahl
Durch fortgesetztes Ausklammern wird erreicht, dass bei der Berechnung nur noch die Grundrechenarten Multiplikation und Addition verwendet werden. Das Potenzieren entfällt. Der Ausdruck 20 wird weg gelassen, da er als Faktor mit dem Wert 1 keine Änderung im Ergebnis bewirkt.
| a424 + a323 + a222 + a121 + a0 | = (a423 + a322 + a221 + a1) ⋅2 + a0 | = ((a422 + a321 + a2)⋅2 + a1)⋅2 + a0 | = (((a4 ⋅2 + a3)⋅2 + a2)⋅2 + a1)⋅2 + a0 |
Betrachtet man die letzte Zeile und beachtet, dass ineinander geschachtelte Klammerausdrücke von innen nach außen ausgerechnet werden, erkennt man eine sich wiederholende Vorgehensweise:
Ziffer mal 2
→
plus nächste Ziffer
→
mal 2
→
plus nächste Ziffer
→
mal 2
→
...
Die Berechnung lässt sich in einem Schema besonders übersichtlich darstellen und ausführen.
Beispiel zur Rekonvertierung der Zahl 110102
Beispiel zur Rekonvertierung der Zahl 6E316 (E ≙ 14)
Mit den Schaltflächen können Sie die Rekonvertierung mit Hilfe des Horner- Schemas beobachten.
Erweiterung der Überlegungen zur Rekonvertierung gebrochener Zahlen I
Aus dem Dezimalsystem ist bekannt, dass durch Multiplikation einer Zahl mit 10 das Komma um eine Stelle nach rechts rückt.
Verallgemeinert man den Gedanken auf beliebige Zahlensysteme, so rückt das Komma durch Multiplikation mit der Basis um eine Stelle nach rechts.
(an ⋅ bn + an-1 ⋅ bn-1 + .... + a1 ⋅ b1 + a0 ⋅ b0 + a-1 ⋅ b-1 + a-2 ⋅b-2 + ...) ⋅ b = an ⋅ bn+1 + an-1 ⋅ bn + .... + a1 ⋅ b2 + a0 ⋅ b1 + a-1 ⋅ b0 + a-2 ⋅ b-1 + ...
Multipliziert man die Zahl oft genug mit der Basis, so rutschen allen Nachkommastellen vors Komma und man erhält eine natürliche Zahl. Diese lässt sich mit dem Horner-Schema rekonvertieren. Durch die Multiplikationen mit der Basis wurde aber der Wert der Zahl vervielfacht. Das Ergebnis muss also abschließend genauso oft wieder durch die Basis geteilt werden.
aus dem Dualsystem
- Rekonvertierung der gebrochenen Dualzahl 10,10112
- Die Dualzahl hat 4 Stellen nach dem Komma. Sie muss daher mit 2 ⋅ 2 ⋅2 ⋅ 2 = 16 multipliziert werden. Man erhält die natürliche Dualzahl 1010112
- Darauf wird jetzt das Horner-Schema angewendet.
-
1 0 1 0 1 1 2 2 4 10 20 42 1 2 5 10 21 43 - Durch die anfängliche Multiplikation ist das der 16fache Wert des richtigen Ergebnisses. Der Wert muss also noch durch 16 geteilt werden.
- 10,10112 = 43 ÷ 16 = 2,687510
aus dem Hexadezimalsystem
- Rekonvertierung der gebrochenen Hexadezimalzahl B1,3A616
- Die Hexadezimalzahl hat 3 Stellen nach dem Komma. Sie muss daher mit 16 ⋅ 16 ⋅ 16 = 4096 multipliziert werden.
Man erhält die natürliche Hexadezimalzahl B13A616 - Darauf wird jetzt das Horner-Schema angewendet.
(B ≙ 11, A ≙ 10) -
11 1 3 10 6 16 176 2832 45360 725920 11 179 2835 45370 725926 - Durch die anfängliche Multiplikation ist das der 4096fache Wert des richtigen Ergebnisses. Der Wert muss also noch durch 4096 geteilt werden.
- B1,3A616 = 725926 ÷ 4096 = 177,2280273437510
Alternative Überlegungen zur Rekonvertierung gebrochener Zahlen II
Prinzipiell ließe sich das Horner-Schema auch für gebrochene Zahlen direkt anwenden. Dann müssten der natürliche und der gebrochene Anteil extra rekonvertiert werden. Dieses Vorgehen ist jedoch aufwändiger als das vorige Verfahren. Deshalb wird es hier nur am Beispiel angedeutet:
Beispiel für eine 4-stellige (nur Nachkommastellen)
Durch fortgesetztes Ausklammern wird erreicht, dass bei der Berechnung nur noch die Grundrechenarten Division und Addition verwendet werden.
| a-12-1 +a-22-2 + a-32-3 + a-42-4 | = (a-1 + a-22-1 + a-32-2 + a-42-3) : 2 | = (a-1 + (a-2 + a-32-1 + a-42-2) : 2) : 2 | = (a-1+ (a-2 + (a-3 + a-42-1) : 2) : 2) :2 | = (a-1+ (a-2 + (a-3 + a-4 : 2) : 2) : 2) :2 |
Man kann dieser Darstellung entnehmen, dass man zur Rekonvertierung mit der kleinsten Stelle beginnen muss.
Beispiel zur Rekonvertierung der Zahl 0,10112
Mit den Schaltflächen können Sie die Rekonvertierung mit Hilfe des Horner- Schemas beobachten.