Zahlensysteme

Einleitung

Seit frühester Kindheit begleiten uns Zahlen. Schon vor dem ersten Schultag können Kinder zählen. Noch jüngere Kinder zeigen ihre Finger, wenn man sie nach ihrem Alter fragt. Warum unser Zahlensystem gerade so aufgebaut ist, wie wir es kennen, wird nicht hinterfragt. Man ist den Umgang mit Zahlen auf genau eine Weise gewohnt. Und es gibt keinen Grund etwas daran zu ändern.

Zahlenaufbau

Unser Zahlensystem wird als dekadisches Positionssystem bezeichnet. Das beinhaltet folgende Aussagen:

  • Zahlen bestehen aus Ziffern.
  • Ziffern stehen an verschiedenen Positionen.
  • Jede Position hat einen Namen.
    Die Namen der Positonen (Einer, Zehner, Zehntel, Hunderter,...) sind Potenzen der Basis 10.
  • Es gibt 10 Ziffern (0...9), deshalb dekadisch. Deka griech. für zehn.
  • Der Wert einer Ziffer hängt von der Position innerhalb der Zahl ab, deshalb Positionssystem.
    Die Ziffern geben an, wie oft der Wert der Positionen vorkommt.

Die dargestellte Zahl lässt sich als Summe der einzelnen Positionen schreiben:

  • 4444,44
  • = 4000 + 400 + 40 + 4 + 0,4 + 0,04
  • = 4 ⋅ 1000 + 4 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 4 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1/10 + 4 ⋅ 1/100
  • = 4 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 4 ⋅ 101 + 4 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10-1 + 4 ⋅10-2

Begriffsbildung

4 ⋅ 103
4
10
3
Die Ziffer.
Sie gibt an, wie oft ihre Position vorkommt.
Ihr kleinster Wert kann 0 sein.
Der größte Wert kann 9, also 1 kleiner als die Basis, sein.
Die Basis.
Die Positionen sind Potenzen der Basis.
Die Basis zeigt an, wie viele Ziffern zur Verfügung stehen.
Hier sind es 10 Ziffern (0...9).
Der Exponent.
Er bestimmt mit der Basis den Wert der Position.
Hier also Tausender (103).

Verallgemeinerung

Nummeriert man die einzelnen Ziffern mit Variablen durch und lässt als Basis andere Ziffern außer 10 zu, so ergibt sich die verallgemeinerte Darstellung:

Zahl = an⋅bn + ... + a3⋅b3 + a2⋅b2 + a1⋅b1 + a0⋅b0 + a-1⋅b-1 + a-2⋅b-2 + ...

an ⋅ bn
a
b
n
Die Ziffer, kleinster Wert 0, größter Wert b - 1; gibt an, wie oft ihre Position vorkommt.
Die Basis, die Positionen sind Potenzen der Basis.
Der Exponent, bestimmt mit der Basis den Wert der Position.

Konkretisierung

Dualzahlen bzw. Binärzahlen (Basis = 2)
  • b=2
    Es gibt nur die Ziffern 0 und 1.
    • 1101,101
    • = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 + 1 ⋅2-1 + 0 ⋅ 2-2 + 1 ⋅ 2-3
    • = 1 ⋅ 8 + 1 ⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1/2 + 0 ⋅ 1/4 + 1 ⋅ 1/8
  • Da die Positionen von Zweierpotenzen gebildet werden, heißen sie
    Zweier, Vierer, Achter
    bzw.
    Halbe, Viertel usw.
    Die Zugehörigkeit zu den Dualzahlen kennzeichnet man oft mit einem Index: 1101,1012
Hexadezimalzahlen (Basis = 16)
  • b=16
    Es gibt 16 Ziffern.
    Da wir nur 10 Ziffern kennen und jede Ziffer nur aus einem Symbol bestehen darf, setzt man nach der Ziffer 9 mit Buchstaben fort.
    Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
    • F2C7,B2
    • = F ⋅ 163 + 2 ⋅ 162 + C ⋅ 161 + 7 ⋅ 160 + B ⋅ 16-1 + 2 ⋅ 16-2
    • = F ⋅ 4096 + 2 ⋅ 256 + C ⋅ 16 + 7 ⋅ 1 + B ⋅ 1/16 + 2 ⋅ 1/256
    • = 15 ⋅ 4096 + 2 ⋅ 256 + 12 ⋅ 16 + 7 ⋅ 1 + 11 ⋅ 1/16 + 2 ⋅ 1/256
  • Da die Positionen hier von 16er-Potenzen gebildet werden, heißen sie hier
    Einer, Sechzehner, Zweihundertsechsundfünfziger
    bzw.
    Sechzehntel, Zweihundersechsundfünfzigstel usw.
    Die Zugehörigkeit zu den Hexadezimalzahlen kennzeichnet man oft mit einem Index: F2C7,B216

Hat eine Zahl keinen Index und hat man nichts weiter vereinbart, betrachtet man sie als Dezimalzahl.